De symmetrie-as is hier evenwijdig met de y-as en gaat door de top: daarom is x = – b / 2a de symmetrie-as.
Hoe vind je de Symmetrieas van een parabool?
Slimleren.nl De algemene vorm van een kwadratische formule is y = ax 2 – bx + c, Waarbij $$a\neq 0$$. Als a 0 zou zijn, zou het geen kwadratische formule meer zijn. b en c zouden wel 0 kunnen zijn. Voorbeelden van kwadratische formules zijn: y = x 2 + 2 x en y = x 2 + 2 x + 5.
Hoe bereken je Symmetrieassen?
symmetrie van grafieken
|
/td>
|
|
/td>
/td>
| OPGAVEN | |||
| 1. | |||
| Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt (1,0). | |||
| 2. | |||
| Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt (2,1). | |||
| 3. | Gegeven is de functie f ( x ) = x 3 – 3 x 2 + 3 x + 3 | ||
| Toon aan dat de grafiek van deze functie symmetrisch is t.o.v. het punt (1,4) | |||
| 4. | Gegeven is de functie f ( x ) = (3 x – 1) / ( x – 1) Toon aan dat de grafiek van deze functie symmetrisch is t.o.v het punt (1, 3). | ||
| 5. | Een polynoom is een formule waarin gehele positieve machten van x voorkomen, en geen andere vormen met x Voorbeelden zijn: A. y = 4 x 3 + 2 x 2 – 5 x + 2 B. y = 2 x 4 – 12 8 + 4 x 6 C. y = -x 7 + 4 x 5 – 6 x D, y = 2 x 5 – 5 x 4 + x 3 E. y = 3 x 8 – 4 + 2 x 2 | ||
| Sommige van deze polynomen zijn symmetrisch t.o.v. de y -as, en sommigen zijn symmetrisch t.o.v. de oorsprong. Leg uit hoe je in één oogopslag (dus zonder uitgebreid rekenwerk te verrichten) kunt zien welke van bovenstaande polynomen symmetrisch zijn en met welke soort van symmetrie. | |||
| 6. | Examenvraagstuk Hieronder is de grafiek van een functie f getekend. Voor x ≤ 0 geldt het functievoorschrift f ( x ) = 2 x Voor x ≥ 0 geldt voor f een ander voorschrift. Gegeven is verder dat de grafiek van f puntsymmetrisch is in het punt (0,1), wat betekent dat bij spiegeling in (0,1) de grafiek van f in zichzelf overgaat. | ||
| a. | Bereken f (1) en bereken f (5) | ||
| b. | Stel voor x ≥ 0 het functievoorschrift voor f op. | ||
| Hieronder is de grafiek van de afgeleide functie f ‘ getekend voor x ≤ 0. | |||
| c. | Voltooi in deze figuur de grafiek van f ‘ door ook het gedeelte dat hoort bij x > 0 te tekenen. Licht je werkwijze toe. | ||
| 7. | examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1995. De functie f met domein R is gegeven door: f : x → 4 – x 2 Van een functie g is gegeven: • g ( x ) = f ( x ) voor x ≤ 1. • de grafiek van g is symmetrisch ten opzichte van het punt (1,3). Druk g ( x ) uit in x voor x ≥ 1. Motiveer je antwoord. | ||
| 8. | examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011 (gewijzigd). | ||
| Toon aan dat de grafiek van f ( x ) symmetrisch is ten opzichte van het punt (0,1) | |||
| 9. | Examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2016-II | ||
| De functies f en g worden gegeven door: | |||
| De grafieken van f en g staan in onderstaande figuur. | |||
| Een verticale lijn snijdt de grafieken van f en g in de punten A en B. P is het midden van AB. Als de grafieken van f en g elkaars gespiegelde zijn in de lijn y = 1 dan moet gelden dat y P = 1 voor elk punt P. Toon aan dat de grafieken elkaars gespiegelde zijn in de lijn y = 1. | |||
/td>
symmetrie van grafieken
Wat is het punt van symmetrie?
Methode – Lijnsymmetrie De ‘gewone’ symmetrie ken je inmiddels. Hierbij is een figuur symmetrisch langs een lijn, de symmetrieas. Daarom noem je dit ook wel lijnsymmetrie. Draaisymmetrie Elk figuur past op zichzelf als deze een heel rondje draait, het is dan namelijk weer exact dezelfde figuur.
- Een eigenschap van draaisymmetrische figuren is dat deze ook op zichzelf past als deze draait, zonder helemaal rond te gaan.
- In figuur 1 zie je een draaisymmetrisch figuur.
- Als dit figuur namelijk een kwartslag draait, past deze weer op zichzelf.
- Het punt waar je om heen draait heet het draaipunt.
- Een figuur dat voor het eerst weer op zichzelf past na een heel rondje, is niet draaisymmetrisch.
De kleinste draaihoek moet dus kleiner zijn dan 360° als je een figuur draaisymmetisch wilt noemen. De kleinste draaihoek kun je bereken. Figuur 1 is bijvoorbeeld na een draai van een kwartslag weer hetzelfde. Dat betekent dat je 4 keer het figuur een kwartslag kunt draaien en het dan steeds dezelfde figuur blijft, voordat je een heel rondje van 360° hebt gemaakt en weer bij het originele figuur bent.
Eén stap is dan $$\frac = 90°$$. Ook bij het draaien over 180° en 270° past de figuur weer op zichzelf. Puntsymmetrie Draaisymmetrie met een draaihoek van 180° wordt ook wel puntsymmetrie genoemd. Een puntsymmetrisch figuur heeft een centrum M, Dit punt heet ook wel het punt van symmetrie. Er zijn steeds twee punten op de figuur waarvan centrum M het midden is van hun verbindingslijnstuk.
Figuren kun je spiegelen in een punt. Het origineel en het beeld liggen dan op een rechte lijn door het punt en even ver van het punt af. In de voorbeeldvraag wordt puntsymmetrie nog wat duidelijker. : Slimleren.nl
Wat is de vergelijking van de symmetrie-as?
De standaardparabool is de parabool met vergelijking y = x 2, a Wat is de top van de standaardparabool? b Wat is de top van de parabool met vergelijking y = x 2 + 1 ? Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen? c Wat is de top van de parabool met vergelijking y = x 2 – 3 ? Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen? De top van de parabool met vergelijking y = ( x + 2 ) 2 is wat moeilijker te vinden. e Wat is de top van de parabool met vergelijking y = ( x + 2 ) 2 ? Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen? f Wat is de top van de parabool met vergelijking y = ( x − 1 ) 2 ? Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen? We bekijken de parabool met vergelijking y = ( x − 2 ) 2 − 1, g Neem de tabel over en vul hem verder in. h Wat is de top van de parabool met vergelijking y = ( x − 2 ) 2 − 1 ? Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen? i Wat is de top van de parabool met vergelijking y = ( x + 3 ) 2 + 5 ? Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen? Je kunt ook beredeneren wat de top is van de parabool met vergelijking y = ( x + 3 ) 2 + 5 : Een kwadraat is minimaal 0, dus ( x + 3 ) 2 is minimaal 0,
- En je krijgt de waarde 0 door x = ‐ 3 te nemen.
- Dus is y = ( x + 3 ) 2 minimaal 0 bij x = ‐ 3,
- Y = ( x + 3 ) 2 + 5 is dus minimaal 5,
- Dus is ( ‐ 3,5 ) het laagste punt van de parabool.
- A Geef op dezelfde manier met een redenering de top van de parabool met vergelijking y = ( x − 1 ) 2 − 2,
- Bij een bergparabool gaat de redenering grotendeels hetzelfde, behalve dat je dan gebruikt dat (,) 2 minimaal 0 is, dan is ‐ (,) 2 maximaal 0,
b Geef met een redenering de top van de parabool met vergelijking y = ‐ ( x + 3 ) 2 + 5, c Wat is de top van de parabool met vergelijking y = ‐ ( x − 2 ) 2 + 1 ? Hoe moet je de parabool y = ‐ x 2 verschuiven om deze parabool te krijgen? We verschuiven de standaardparabool y = x 2 naar rechts over een afstand 100, d Op welke hoogte ligt dan het punt op de verschoven parabool bij x = 101 ? En bij x = 105 ? En bij x = 97 ? En bij een willekeurige x ? Wat is de formule bij de verschoven parabool en wat is de top? We verschuiven de standaardparabool y = x 2 naar links over een afstand 50 en daarna 10 omhoog. e Op welke hoogte ligt dan het punt op de verschoven parabool bij x = ‐ 49 ? En bij x = ‐ 45 ? En bij x = ‐ 53 ? En bij een willekeurige x ? Wat is de formule bij de verschoven parabool en wat is de top? We verschuiven de parabool y = ‐ x 2 naar rechts over een afstand 10 en daarna 3 omlaag. f Op welke hoogte ligt dan het punt op de verschoven parabool bij x = 11 ? En bij x = 15 ? En bij x = 7 ? En bij een willekeurige x ? Wat is de formule bij de verschoven parabool en wat is de top? De parabool y = 2 ( x − 1 ) 2 + 3 heeft géén nulpunten.
a Hoe kun je dat direct aan de formule zien? b Wat kan y allemaal zijn als je voor x een willekeurig getal invult? c Is y = 2 ( x − 1 ) 2 + 3 een vergelijking van een dal- of een bergparabool? Licht je antwoord toe. Je kunt beredeneren wat de top van deze parabool is. d Bepaal de top met zo’n redenering.
En wat is de symmetrieas? Door de parabool verticaal te verschuiven, kun je ervoor zorgen dat de parabool precies één nulpunt heeft. e Welke verschuiving? En wat wordt dan de vergelijking van de parabool? f Hoeveel moet ik de parabool verticaal verschuiven zodat de parabool twee nulpunten heeft? Hoe ziet dan de vergelijking eruit? g Hoe moet ik de parabool horizontaal en verticaal verschuiven zodat de top in ( 0,0 ) komt? De parabool met vergelijking y = 2 ( x − 1 ) 2 + 3 kun je krijgen door de parabool met vergelijking y = 2 x 2 in horizontale en verticale richting te verschuiven.
De parabool y = c ( x − a ) 2 + b (met c ≠ 0 ) ontstaat door de parabool y = c x 2 als volgt te verschuiven: a eenheden naar rechts en b eenheden naar boven. (Een ander woord voor een verschuiving is een translatie,) De top van de parabool is dus ( a, b ), Je krijgt een dalparabool als c > 0 en een bergparabool als c < 0, Het getal c bepaalt hoe ‘breed' de parabool is. De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: x = a,
De vergelijking van de parabool in de vorm y = c ( x − a ) 2 + b wordt de topvorm van de parabool genoemd, omdat direct de coördinaten van de top zijn af te lezen. Voorbeeld: De grafiek van de vergelijking y = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 − 4 ontstaat uit de parabool y = ‐ 1 2 x 2 door 3 eenheden naar links te schuiven en 4 naar beneden.
| y = ‐ 2 ( x − 2 ) 2 + 2 | y = ( x + 3 ) 2 |
| y = ( x − 3 ) 2 + 2 | y = x 2 + 3 |
Vermenigvuldigen ten opzichte van de x -as In een eerdere paragraaf hebben wij gezien hoe de grafiek van y = c x 2 er voor verschillende waarden van c eruit ziet. In de volgende opgave gaan wij hier nauwkeuriger naar kijken. Hiernaast staan de grafieken getekend van y = x 2 en y = 1 3 x 2, a Neem de tabel over en vul hem verder in. b Keer welk getal moet je de uitkomsten van y = x 2 doen om de uitkomsten van y = 1 3 x 2 te krijgen? Neem het punt ( a, b ) op de grafiek van y = x 2, Dan ligt het punt ( a,.) op de grafiek van y = 1 3 x 2, c Vul de open plaats hierboven in. d Omschrijf hoe je de grafiek van y = 1 3 x 2 krijgt uit de grafiek van y = x 2,
e Omschrijf hoe je de grafiek van y = ‐ 2 x 2 krijgt uit de grafiek van y = x 2, De grafiek van y = c x 2 krijg je uit de grafiek van y = x 2 door deze met factor c te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as, Als het punt ( a, b ) ligt op de grafiek van y = x 2 dan ligt het punt ( a, b c ) op de grafiek van y = c x 2,
Het vermenigvuldigen en verschuiven van parabolen kunnen ook gecombineerd worden. De grafiek van de vergelijking y = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 − 4 ontstaat uit de parabool y = x 2 door deze eerst met factor ‐ 1 2 te vermenigvuldigen ten opzichte van de x -as en daarna 3 eenheden naar links te schuiven en 4 naar beneden.
A Teken de grafiek van y = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 − 4, Teken eerst de top en maak een tabel. We draaien nu de volgorde om: eerst de translatie en daarna de vermenigvuldiging ten opzichte van de x -as. b Teken in een tweede rooster de grafiek van y = x 2 ; daarna met een andere kleur de grafiek van de parabool die je krijgt als je deze standaardparabool 3 naar links schuift en 4 naar beneden; teken tenslotte met nog een andere kleur de grafiek die je krijgt als je de verschoven grafiek met factor ‐ 1 2 vermenigvuldigt ten opzichte van de x -as.
c Vergelijk de twee grafieken van onderdelen a en b, Zijn de grafieken gelijk? Wat is het verschil tussen beide grafieken? De volgorde waarin je de vermenigvuldiging en de translatie toepast maakt dus wel degelijk uit. Maar het is toch mogelijk om eerst een translatie uit te voeren en daarna een vermenigvuldiging om de grafiek van y = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 − 4 te krijgen.
Door eerst met factor ‐ 1 2 te vermenigvuldigen t.o.v. de x -as, dan krijg je y = ‐ 1 2 x 2 en daarna 3 naar links en 4 naar beneden te schuiven, dat geeft y = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 − 4 Door eerst 3 naar links en 8 naar boven te schuiven, dat geeft y = ( x + 3 ) 2 + 8 en daarna met factor ‐ 1 2 te vermenigvuldigen t.o.v. de x -as: y = ‐ 1 2 ( ( x + 3 ) 2 + 8 ) = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 − 4
Hoewel er twee mogelijke volgordes zijn, ligt de eerste manier veel meer voor de hand. Want bij de eerste manier kan je de vermenigvuldiging en verschuivingen direct in de formule zien. De grafiek van y = c ( x − a ) 2 + b kun je uit de grafiek van de standaardparabool y = x 2 krijgen door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen:
Eerst een vermenigvuldiging ten opzichte van de x -as met factor c ; Daarna de translatie a naar rechts en b naar boven.
Geef van elk van de volgende parabolen aan met welke transformaties (en in welke volgorde) je de grafiek krijgt uit de grafiek van de standaardparabool y = x 2, Geef ook telkens de coördinaten van de top. Bij de laatste twee moet je eerst kwadraatafsplitsen. Vergelijkingen voor parabolen opstellen Van een parabool is de top ( ‐ 2,3 ), Een vergelijking van de parabool is: y = c ( x + 2 ) 2 + 3 voor een getal c, Als je buiten de top nog een punt van de parabool kent, kun je c bepalen. Als bijvoorbeeld ( ‐ 6, ‐ 5 ) er op ligt, krijg je: ‐ 5 = c ( ‐ 6 + 2 ) 2 + 3 ‐ 5 = 16 c + 3 ‐ 8 = 16 c ‐ 1 2 = c Een vergelijking van de parabool is: y = ‐ 1 2 ( x + 2 ) 2 + 3, Van twee parabolen is de vergelijking al bekend, namelijk: y = ‐ 2 ( x − 3 ) 2 + 2 en y = ‐ 1 2 ( x + 3 ) 2 + 2, a Zoek uit welke vergelijking bij welke parabool hoort. Licht je keuze toe. Op de overige drie parabolen is een roosterpunt aangegeven. b Geef zelf de ontbrekende vergelijkingen voor deze drie parabolen.
- Gebruik het aangegeven roosterpunt.
- In opgave 23 en opgave 24 hebben we gezien dat het vinden van de top van een parabool niet zo eenvoudig is als de vergelijking in de vorm zonder haakjes staat.
- Deze vorm zonder haakjes van de vergelijking van de parabool wordt de standaardvorm genoemd.
- Een manier om in zo’n geval de top te vinden is om eerst de symmetrieas te zoeken: door het midden te nemen van de twee nulpunten (als die er zijn), of het midden van de twee snijpunten van de parabool met een horizontale lijn.
Een andere manier is om de standaardvorm in de topvorm te zetten, dus in de vorm y = c ( x − a ) 2 + b, a Schrijf de vorm y = x 2 + 4 x − 3 met kwadraatafsplitsen in de vorm: y = ( x +,) 2 –, We willen de top vinden van de parabool y = 2 x 2 + 8 x − 6,
| y | = | 2 x 2 + 8 x − 6 | 2 buiten haakjes halen |
| y | = | 2 ( x 2 +,) | binnen haakjes kwadraatafsplitsen |
| y | = | 2 ( ( x ,) 2 −,) | buitenste haakjes weg |
| y | = | 2 ( x ,) 2 −, |
c Wat is dus de top van de parabool y = 2 x 2 + 8 x − 6 ? d Zoek de top van de parabool y = 1 2 x 2 + 3 x + 2, Ga als volgt te werk: y = 1 2 x 2 + 3 x + 2 y = 1 2 (,) enz. e Wat is dus de top van de parabool y = 1 2 x 2 + 3 x + 2 ? f Zoek de top van de volgende vier parabolen.
| y = ‐ x 2 + x | y = ‐ ( 2 x + 4 ) 2 + 4 |
| y = ‐ 2 x 2 + 10 x + 1 | y = ( x + 3 ) ( x − 7 ) |
Voorbeeld: Een vergelijking van een parabool omzetten in de topvorm met kwadraatafsplitsen is best lastig als er een getal voor x 2 staat. Een iets andere manier (waarbij je minder haakjes nodig hebt) is de volgende:
| y | = | 2 x 2 + 8 x − 6 | DELEN DOOR 2 |
| 1 2 y | = | x 2 + 4 x − 3 | kwadraatafsplitsen |
| 1 2 y | = | ( x + 2 ) 2 − 4 − 3 | vereenvoudigen |
| 1 2 y | = | ( x + 2 ) 2 − 7 | KEER 2 |
| y | = | 2 ( x + 2 ) 2 − 14 |
Zet de volgende vier vergelijkingen van parabolen met kwadraatafsplitsen om in de topvorm en geef de coördinaten van de top. c y = ‐ ( x − 3 ) ( x + 2 ) Gegeven is de parabool met vergelijking y = 2 x 2 − 4 x + 5, a Schrijf de vergelijking in de topvorm en bepaal hiermee de coördinaten van de top. De lijnen y = 1 2 x, y = ‐ 1 2 x + 4 en de x -as sluiten een driehoek in. a Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek. In de driehoek wordt een rechthoek getekend met twee hoekpunten op de x -as en twee op de opstaande zijden van de driehoek.
De eerste coördinaat van het hoekpunt linksonder van de rechthoek noemen we x, b Toon aan dat de oppervlakte van de rechthoek 4 x − x 2 is. c Voor welke waarde van x is de oppervlakte van de rechthoek maximaal? Bereken die waarde met kwadraatafsplitsen. Wat is de maximale oppervlakte? a Bereken de nulpunten van de vergelijking y = 2 x 2 − 4 x − 6,
b Laat zien dat geldt: 2 x 2 − 4 x − 6 = 2 ( x + 1 ) ( x − 3 ), Met de vorm y = 2 ( x + 1 ) ( x − 3 ) kun je snel de symmetrieas en de x -coördinaat van de top bepalen. c Wat is de symmetrieas? En wat is de top? d Neem over en vul de open plekken in: 3 x 2 + 6 x − 24 =,
- X,) ( x,) e Wat is dus de symmetrieas en de top van de parabool met vergelijking y = 3 x 2 + 6 x − 24 ? f Neem over en vul de open plekken in: ‐ 2 x 2 + 16 x − 24 =,
- X,) ( x,) Wat is dus de symmetrieas en de top van de parabool met vergelijking y = ‐ 2 x 2 + 16 x − 24 ? Als een parabool nulpunten heeft bij x = a en x = b dan kun je de vergelijking van de parabool schrijven in de vorm y = c ( x − a ) ( x − b ),
Deze vorm van de vergelijking van de parabool heet de nulpuntsvorm van de parabool. De symmetrieas is dan x = a + b 2 = 1 2 a + 1 2 b, De eerste (of x -) coördinaat van de top is 1 2 a + 1 2 b, De top van een parabool ligt op de y -as. Een nulpunt van de parabool is x = 3,
De standaardvorm y = a x 2 + b x + c Vooral handig voor het oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld voor toepassen van de abc -formule. De topvorm y = c ( x − a ) 2 + b Vooral handig voor het vinden van de top van de parabool en de symmetrieas. De nulpuntsvorm y = c ( x − a ) ( x − b ) Je kunt direct de snijpunten met de x -as aflezen. De symmetrieas zit er dan midden tussen (evenals de top).
Let op: de waarden van a, b en c zijn in de bovenstaande vormen telkens verschillend. Hieronder staat telkens de vergelijking van een parabool in een van de drie vormen gegeven. Schrijf de formule telkens in de twee andere vormen. a y = ‐ 1 2 ( x − 3 ) ( x + 5 )
Wat is 1 Symmetrieas?
Methode – In vlakke figuren (zoals een driehoek, cirkel, rechthoek, ect.) bestaan verschillende soorten symmetrie. Hieronder worden een aantal varianten kort besproken. De symmetrieas van een vlak figuur gaat precies door het midden van het figuur. De symmetrieas deelt het figuur in twee gelijke delen op.
- Een voorbeeld met één symmetrieas is een gelijkbenige driehoek, een driehoek met twee gelijke benen en twee gelijke hoeken.
- Dit is in de afbeelding hiernaast te zien.
- Er kunnen meerdere symmetrieassen in één figuur voorkomen.
- Een figuur met één of meer symmetrieassen wordt een lijnsymmetrisch figuur genoemd.
Een vlak figuur kan ook puntsymmetrisch zijn. Het figuur kan 180 graden worden gedraaid en de vorm van het figuur is niet veranderd. Een voorbeeld is een rechthoek, die in de afbeelding hiernaast te zien is. : Slimleren.nl
Wat is een symmetrische vorm?
Symmetrische figuren herkennen Een figuur is symmetrisch als beide helften gelijk zijn aan elkaar. Als je in het midden een lijn zou trekken en het figuur dubbel zou vouwen, dan is de andere helft precies hetzelfde. Symmetrisch figuur 
Als je in het midden van deze ster een lijn zou trekken en hem dubbel zou vouwen, dan is de andere helft precies hetzelfde. Deze figuur is dus symmetrisch. Geen symmetrisch figuur Als je in het midden van deze auto een lijn zou trekken en hem dubbel zou vouwen, dan is de andere helft niet hetzelfde. De achterkant van de auto is niet hetzelfde als de voorkant. Deze figuur is dus niet symmetrisch. Je kunt controleren of een figuur symmetrisch is door de figuur dubbel te vouwen, maar je kunt ook op de middenlijn een spiegeltje plaatsen.
Een figuur is symmetrisch als beide helften gelijk zijn aan elkaar. Als je in het midden een lijn zou trekken en het figuur dubbel zou vouwen, dan is de andere helft precies hetzelfde. Als je in het midden een spiegel zou zetten, dan is het spiegelbeeld precies gelijk.
: Symmetrische figuren herkennen
Hoe teken ik een Symmetrieas?
Een symmetrieas verdeelt een figuur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn. Elk punt van de figuur moet loodrecht op de spiegelas gespiegeld worden. De afstand tussen punt en spiegelas moet aan beide kanten dezelfde zijn. Vervolledig de tekeningen zodat de figuur symmetrisch is, met s als symmetrieas.
Is een vierkant symmetrisch?
Een rechthoek is lijnsymmetrisch met twee symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@`, Een vierkant is lijnsymmetrisch met vier symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `90^@`,
Welke 3 soorten symmetrie zijn er?
Samenvatting maken – Automerken overzicht Verkeersborden Verkeersborden 2 (Wikipedia) Zoekwoorden symmetrische afbeeldingen: symmetrie, spiegelsymmetrie, draaisymmetrie, geometrie, graancirkels, mandala’s, logo’s, roosvenster Symmetrie: Bij symmetrische figuren is er altijd sprake van een zekere gelijkheid. De figuur is opgebouwd uit gelijke delen. We onderscheiden drie vormen van symmetrie: spiegelsymmetrie, schuifsymmetrie en draaisymmetrie. Het woord symmetrie is afkomstig uit het Grieks; symmetros = gelijke maat houdend, passend bij.
Symmetrisch: Een figuur heet symmetrisch als hij in twee exact gelijke delen verdeeld kan worden die elkaars spiegelbeeld zijn Symmetrie-as : Een symmetrieas is de lijn waarin je spiegelt. Deze spiegellijn verdeelt een figuur in twee gelijke delen ; beide delen vormen elkaars spiegelbeeld De ‘ vouwlijn ‘ in een spiegelsymmetrisch figuur heet de symmetrieas.
Bij dubbelvouwen komt elk punt van het origineel op een bijhorende punt van het (spiegel)beeld terecht. Sommige figuren kun je op meerdere manieren dubbelvouwen en hebben dus meer dan n symmetrieas Spiegelbeeld: Het teruggekaatste beeld De lijnen en hoeken zijn aan elkaar gelijk, maar volgen elkaar in tegengestelde volgorde op Spiegelsymmetrie: Een figuur is spiegelsymmetrisch als deze uit 2 identieke helften bestaat, die elkaars spiegelbeeld zijn Je kunt het figuur dan zo dubbelvouwen, dat de twee helften aan weerszijden van de spiegelas precies op elkaar passen De spiegelas is de middelloodlijn van het lijnstuk tussen een punt en zijn spiegelbeeld. Bovenstaande knipopdrachten zijn voor veel basisschoolleerlingen de ‘eerste’ kennismaking met lijnsymmetrie geweest. Lijnsymmetrie: Een figuur is lijnsymmetrisch als het dubbelgevouwen kan worden zodat de ene helft precies ondersteboven op de andere helft past. De vouwlijn heet dan de symmetrieas. De afbeelding aan de ene kant van de symmetrieas is het spiegelbeeld van de afbeelding aan de andere kant (en omgekeerd natuurlijk). Als de symmetrieas geen rechte lijn is, heb je te maken met een lachspiegel. Een praktisch voorbeeld hiervan is een vlinder. We zeggen ook wel dat door vouwen je beide helften op elkaar kunt leggen. De vouwlijn is de spiegel-as of symmetrie-as. Je kunt ook de “helft” van een symmetrische figuur tegen een spiegel houden. Je ziet in de spiegel de symmetrische andere helft. Draaisymmetrie: Een figuur dat je kan draaien rond een draaipunt (zonder helemaal rond te gaan) en dat er precies weer uit komt te zien zoals het origineel, Na een aantal keer een gedeelte verder gedraaid te hebben is het figuur weer op zijn beginpositie terug. Dat aantal is de orde van draaisymmetrie. We zoeken altijd de kleinste draaihoek die de figuur op zichzelf afbeeldt. De orde is gelijk aan 360 gedeeld door die kleinste draaihoek. Een vierkant past na vier keer draaien over 90 weer precies op zichzelf en dus is de orde 4. Een gelijkzijdige driehoek (bv. een waarschuwingsbord is van orde drie; na elke tussenstap van 120 past de driehoek precies op zichzelf. Er is alleen sprake van draaisymmetrie (= rotatiesymmetrie ) als een figuur na minder dan een halve draai ( < 180) precies op zichzelf past; het beeld (de kopie) past precies op het origineel (0 < draaihoek < 180 ) Als dit het geval is bij precies een halve draai ( = 180) spreek je van puntsymmetrie, ( meer afbeeldingen draaisymmetrie ) Davidsster rotonde logo Mercedes zeven-punts-graaf wieldop Schuifsymmetrie: Een figuur is schuifsymmetrisch als hij is opgebouwd als herhaling van eenzelfde deel. Als je dat deel steeds over eenzelfde richting en afstand verschuift, krijg je de hele figuur.
Deze gelijke richting en afstand wordt altijd met een pijl aangegeven. Bij een schuifsymmetrische figuur zoeken we altijd een zo klein mogelijk deel en een zo kort mogelijke pijl voor de verschuiving. Puntsymmetrie: Een figuur is puntsymmetrisch als hij draaisymmetrisch is over precies 180 Een bijzonder geval van draaisymmetrie is als een figuur na precies een halve slag (draai van 180 ) exact op zichzelf past.
Een figuur is puntsymmetrisch als hij is opgebouwd door een deel te spiegelen in een punt, het zogenaamde symmetriepunt. Dat punt is een draaipunt van de figuur van orde 2. ( meer afbeeldingen puntsymmetrie ) Symmetrie in de ruimte: Spiegelsymmetrische vormen in de ruimte hebben een symmetrievlak, Weten: Het verschil tussen symmetrielijnen en diagonalen Geodriehoek: Zorg dat je dit hoofdstuk altijd je geo bij de hand hebt Schema vlakke figuren beschrijven: Vlakke figuren ‘van buiten naar binnen’ beschrijven 1) meetkundige vorm (familienaam) (bijv. Diagonalen: Met een doorgetrokken lijn binnen het figuur, van hoekpunt naar hoekpunt, tekenen Symmetrielijnen: Symmetrieassen worden met een streepjeslijn aangegeven om de niet te verwarren met de doorgetrokken diagonaallijnen. De streepjeslijnen worden altijd i ets langer dan het figuur getekend en steken dan ook ongeveer n cm buiten het figuur uit. Spelling
| Spel de naam van dit vlakke figuur | Juist! Helaas, onjuist. De juiste spelling is: cir k el |
table>
table>
Hoe werkt symmetrie?
Waat gaat het over? – Symmetrie is het aan elkaar gelijk zijn van delen. Het gaat bij symmetrie dus meestal om een geheel dat is opgebouwd uit stukken die hetzelfde zijn, congruent zijn. Er zijn verschillende vormen van symmetrie.
Hoe spel je symmetrisch?
bijv.naamw.
| Uitspraak: | m e : ee als in meet t r i : ie als in riep, dia s”>siˈmetris ] |
| Afbreekpatroon: | sym·me·trisch |
met twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn
| Voorbeeld: | `De hoofdletter A is over de lengteas symmetrisch.` | |
| Antoniem: | asymmetrisch |
Kernerman Dictionaries, Synoniemen asymmetrisch (antoniem) 9 definities op Encyclo aan beide zijde; in E.E.G.-termen gelijk aan vorm. Twee- (of meer-) zijdig spiegelbeeldig. Het verdient aanbeveling om je luidsprekers symmetrisch op te stellen, c.q. je kamer enigszins symmetrisch in te richten.
Hoe bepaal je de symmetrie van een functie?
40.2.4 Symmetrie: even en oneven functies Een functie heet even als een tegengestelde invoerwaarde steeds dezelfde uitvoer levert: f (– x ) = f ( x ). In dat geval is de grafiek symmetrisch onder spiegeling in de y -as. Een functie heet oneven als een tegengestelde invoerwaarde ook steeds de tegengestelde uitvoer levert: f (– x ) = – f ( x ). 
: 40.2.4 Symmetrie: even en oneven functies
Wat is een Symmetrieas van een hoek?
Een symmetrieas loopt door een hoekpunt en deelt de overliggende zijde in twee gelijke delen.
Welke 4 soorten symmetrie zijn er?
Wiskunde.net LET OP : Wil je ook toegang tot meer dan 9.700 video-uitwerkingen voor 36 euro per jaar? Meld je dan snel aan! 01-07-2023 admin 23 
Bij figuren die symmetrisch zijn, is er altijd sprake van een vorm van gelijkheid. De figuren bestaan dan uit gelijke delen. Er zijn vier vormen van symmetrie; spiegelsymmetrie, schuifsymmetrie, draaisymmetrie en puntsymmetrie. Het woord symmetrie komt uit de Griekse oudheid: ‘symmetros’.
Dat betekent “gelijke maat houdend” of “passend bij”. Bij spiegelsymmetrie bestaat een figuur uit twee helften die we precies op elkaar kunnen leggen. Bedenk hierbij wel dat één van deze twee helften na omklappen ondersteboven op de ander komt te liggen. Een praktisch voorbeeld hiervan is een vlinder. We zeggen ook wel dat door vouwen je beide helften op elkaar kunt leggen.
De vouwlijn is de spiegel-as of symmetrie-as. Je kunt ook de “helft” van een symmetrische figuur tegen een spiegel houden. Je ziet in de spiegel de symmetrische andere helft. In een spiegel-as kun je ook een punt A spiegelen (zie afb.1). Je tekent dan door A de middelloodlijn op de spiegel-as en de afstand van A naar de spiegel-as is hetzelfde als de afstand van de spiegel-as naar A’.
A’ is dan dus het spiegelbeeld van A. Je kunt dit ook mooi met een passer doen. Een vierkant heeft vier spiegelassen, een rechthoek twee en een cirkel (mits de spiegel-as door het middelpunt gaat) oneindig veel spiegelassen. Een figuur heet schuifsymmetrisch als hij een echt deel heeft, zodat: als je dat deel steeds verschuift over een vector of pijl, je de hele figuur krijgt.
Zo zou je bijvoorbeeld een vierkant van 2×2 cm steeds 1 cm naar rechts en 1 cm omhoog kunnen schuiven. Het resultaat is een nieuwe figuur die schuifsymmetrisch is. Schuifsymmetrie kom je vaak tegen bij randversieringen. Bij draaisymmetrie kunnen we de figuur (afb.2) als het ware optillen, een stukje draaien, en dan weer neerleggen zodat we weer de oorspronkelijke figuur zien.
- Het aantal keren waarmee we dit kunnen doen binnen 360 graden noemen we de orde.
- Zo kun je bijvoorbeeld een vierkant optillen, 90 graden draaien, weer neerleggen en dan heb je weer het oorspronkelijke vierkant.
- Dit kun je 4x doen binnen 360 graden.
- De orde is dus 4.
- Een figuur dat pas weer op zichzelf past als je hem 360 graden gedraaid hebt, is niet draaisymmetrisch (orde is 1).
Het punt waarom je draait, noemen we het draaipunt. Een voorbeeld van draaisymmetrie is een reuzenrad. Een figuur heet puntsymmetrisch als hij uit 2 helften bestaat die elkaars spiegelbeeld zijn in een punt. Dit punt heet het symmetriepunt. Symmetrie komen we ook tegen in de ruimte.
Welke letters zijn symmetrisch?
a Puntsymmetrisch zijn (van het lettertype Arial) de letters C, H, I, N, O, S, X, Z. Lijnsymmetrisch zijn (tussen haakjes het aantal symmetrieassen): A(1), C(1), D(1), E(1), H(2), I(2), M(1), O(2), T(1), U(1), V(1), W(1), X(2) en Y(1).
Hoeveel symmetrie heeft een cirkel?
Cirkel door drie punten – Door drie willekeurige punten die niet op een lijn liggen is een cirkel bepaald. Het is de van de die de punten vormen. De van de zijden van deze driehoek gaan door een punt. Dit snijpunt ligt op gelijke afstand van de drie punten, dus is het middelpunt van de cirkel waar de drie van de driehoek op liggen.
Hoe heet het punt van een parabool dat op de Symmetrieas van de parabool ligt?
Het hoogste punt wordt de top van de parabool genoemd. De top ligt altijd op de symmetrieas van de parabool. Als het cijfer voor de x 2 x^2 x2 positief is, dan is de grafiek een dalparabool. Het laagste punt wordt ook de top genoemd en ook deze ligt altijd op de symmetrieas van de parabool.
Wat is een Symmetrieas van een hoek?
Een symmetrieas loopt door een hoekpunt en deelt de overliggende zijde in twee gelijke delen.